力是具有大小和方向的矢量,我们通常用一带箭头的有向线段表示一个力；力在坐标轴上的投影是将表示一个力的有向线段的两端向投影轴引垂线后，在投影轴上所得到的线段长，因此力在坐标轴上的投影是标量。目前解决力学中的静力学问题时，组成平衡方程中的各元素就是力在坐标轴上的投影，为了区别这些投影的位置，则人为地为每一投影冠以正负号，为此“力的投影”及“投影符号的规定”是教学的重点。然而，在教学过程中我发现学员在学习这部分内容时，对求一个力在坐标轴上的投影感觉比较容易，符号建立比较明确，可是在学习利用力对坐标轴的投影来建立相应的解析式求解问题时，却时常出现以下的两个问题：
问题一，解题过程中混淆了正负号含义。
如果利用力在坐标轴上的投影建立我们所需的解析式，那么力学中正负号的含义有两个，一是表示力在坐标轴上的投影；二是表示力的方向。正负号表示力在坐标轴上投影在任意一个静力学问题中均有体现。同时在众多的静力学问题中，“只知某力的作用线位置而不知其方向”的情况是十分普遍的，在解决这类问题时，为了作出研究对象的完整的受力分析图，则首先需要假设这个力的方向为已知，然后将受力分析图中各个未落到投影轴上的力向投影轴投影，并以所建立坐标轴的正向及力的方向为依据给各力在坐标轴上的投影冠以正负号，最后列出相应的静力学平衡方程，求解后再来确定我们所假设的力的实际方向及大小。这一过程中在列静力学平衡方程时，我们是利用力在坐标轴上的投影来进行四则运算的，所以连接各个量之间的符号是表示力在坐标轴上的投影的正负。求解后如果求得假设方向为已知的力的值为正，则表明力的假设方向和事实方向相同；如果求得该力的值为负，则表明力的假设方向和其事实方向相反。如果解题后一旦出现了力的假设方向和事实方向相反的情况，则在同一问题中涉及了有关正负号问题的两个含义，这时很多学员并不能正确区分它们各自代表的含义，因而在处理相关问题时会经常出现这样那样的错误。
问题二，对受力分析图的作用缺乏足够的认识。
我们知道，任何力学问题的解决都离不开受力分析图。受条件限制，准确解决力学问题的方法是解析法，即通过建立一系列解析式来求解问题。解析式的建立必须要有理有据，这里所指的依据就是物体的受力分析图。组成解析式的元素则是各力在我们所建立的坐标轴上的投影。这些投影是将被研究对象的受力分析图向坐标轴投影后得到的，由于力在坐标轴上的投影在受力分析图中只是一与坐标轴重合线段如图一（A图）中的ab、a/b/，并不直观，且一旦力系中力的数目较多，很难避免各线段间的重合，如图一（B图）中的ac、ab、a/b/、a/c/。学员自身的特点又决定了他们并不善于根据受力图利用三角函数关系计算各力在坐标轴上的投影，其所画的受力分析图也就成了摆设，容易造成受力图和列平衡方程分家的现象。这是力学研究中的大忌。即便有的学员知道应利用受力分析图求各力在坐标轴上的投影，也常常因为各力投影后所得的线段之间有相互重叠的现象而在列方程时丢失或增加投影的数目。（如图一（B图）中的ac、ab、a/b/、a/c/）
学员中存在的这两个问题关系到学员能不能正确分析力学问题，能不能以受力图为依据来建立正确数学关系。如果不能帮助学员解决好这二个问题，势必会影响学员学习力学的效果。为此，我针对学员特点，仔细研究教材后，决定用“力的分解和共线力系”取代“ 力在坐标轴上的投影”作为教学的重点。对教学内容作了这样的修改后，我认为有以下二方面的优点。
一、统一了所建立的表达式中的正负号的含义。
我们知道在平面汇交力系中有一特殊情况，即组成力系的各力作用线均沿同一直线作用，如图二所示，我们称其为共线力系。由于共线力系中各力都沿同一直线作用，因而其合力也必然沿着这一作用线作用。那么合力的大小等于组成该力系的各力大小的代数和，合力的方向由力系中各力的大小来决定。
正是共线力系的“合力作用线位置为已知”的这一特性，为我们统一所建立表达式中的符号的含义提供了可行办法。图二所示的是一个由三个力组成的共线力系，其中F1，F2的方向水平向右，F3的方向水平向左，在我们为求合力而建立解析式时，因为已经知道合力的作用线方位，所以我们可选择力系中任一一个力的方向为参考方向，这里我们以F1的方向为参考方向，因为F2和F1的方向一致，所以它们在表达式中的关系是相加的，而F3和F1的方向相反，则它们在表达式中关系是相减的，即：
R= F1+F2-F3
正是共线力系的“合力作用线位置为已知”的这一特性，为我们统一所建立表达式中的符号的含义提供了可行办法。图二所示的是一个由三个力组成的共线力系，其中F1，F2的方向水平向右，F3的方向水平向左，在我们为求合力而建立解析式时，因为已经知道合力的作用线方位，所以我们可选择力系中任一一个力的方向为参考方向，这里我们以F1的方向为参考方向，因为F2和F1的方向一致，所以它们在表达式中的关系是相加的，而F3和F1的方向相反，则它们在表达式中关系是相减的，即：
R= F1+F2-F3
其中，R表示这一共线力系的合力。因为我们在列表达式前，已经确定了力的参考方向，所以F1、F2、F3之间的联接符号表示的是力的方向，而F1、F2和F3则表示的是力的大小。求解后，如果所求得的R值为正，说明合力的方向和参考方向一致，如果为负，说明合力的方向和参考方向相反。由此我们可以得出结论：在共线力系中由于合力的作用线位置已知，解析式中起连接作用的正负号的含义和求解后得到的所求量的正负号含义是统一的，均表示力的方向。如果我们能想办法将各力系转化为若干个共线力系，那么在解力学问题时就不用特别注意正负号所代表的含义了。
力的分解能帮助我们完成这一工作。力的分解是已知合力求分力的过程，一个力分解后将得到两个分力，如图三，理论上一个力是可以沿任意两个不同的方向分解的，很显然每次分解后所得到的结果各不相同，据此我们可根据问题的需要选择力的分解方向，在实际应用中，力的分解大都是沿相互垂直的两个方向进行的，这样可简化我们的分析、计算过程。
以平面汇交力系为例，平面汇交力系的特点是各力的作用线相交于一点，但各力的方向不同，如图四，图四是由三个相交于同一点的力组成的平面汇交力系，我们可选择一相互垂直的方向作为力的分解方向，（图四中所示的水平方向和竖直方向）将力系中的各力沿这两个方向分解，分解后则得到两个相互垂直且相交的共线力系。（分别由F1x、F2x、F3x；F1y、F2y、F3y组成的）。于是我们可利用共线力系的特性去解决所需解决的力学问题：如果是求力系的合力，则可分别求出这两个方向上的合力，而后利用勾股定理求出合力的大小，合力的方向则可用与其中的一个力的分解方向的夹角来表示；如果是解决平衡问题，则列出两个方向的静力平衡方程，从而得到一个二元一次方程组，求解后找到我们需要的结果；对于其它的力系我们也可以将各力沿统一的方向分解后，再按其具体情况找出相应的补充条件后，建立所需的解析式。
二、使学员能正确对待受力分析图的作用。
受力分析图是解决力学问题的依据，利用力对坐标轴的投影解决力学问题时容易使学员忽视受力分析图。如果改用力的分解解决力学问题，则可使学员能正确认识受力分析图的作用，并会熟练应用受力分析图。
我们知道力是矢量，分解后所得的分力仍然是矢量。由于将各力向指定方向分解后，所得到的分力均用带箭头的有向线段来表示，所以在图中比较直观，如图三所示。且力的分解必须在研究对象的受力分析图中直接作出，因而可促使学员主动分析利用对研究对象所作的受力分析图，真正地把受力分析图作为其正确建立静力平衡方程的依据，并能根据共线力系的特点列出正确解决力学问题的解析式。
对教学内容作了这样的修改后，通过几年的教学实践，取得了很好的教学效果，学员在学习这部分内容时，对力学中的正负号问题不在心存疑问，遇到问题时能自觉地按照力学的思维方法进行，即：首先对物体进行受力分析，而后根据受力分析图中各力的分布情况建立力的分解方向，并将需要分解的力向所确定的分解方向分解，在建立平衡方程时，根据分解后所得的共线力系图去建立相应的力学解析式。
东北轻合金人力资源培训中心 ——吾 锐
